巧用联系法学习正四面体
九江市一中 杏仁茶
生活中万事万物是相互联系的，同样高中数学各章节之间，各知识点之间也是联系很密切的，认真理解，把握它们之间的联系点有利于理解概念，打开解题思路，从而达到掌握知识的目的。下面以正四面体为例介绍联系法在学习立体几何中的运用。
一、正四面体的的基本知识
正四面体就是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。它有6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。当其棱长为a时，其体积等于( /12)a3，表面积等于 a2。
正四面体的重心,四条高的交点,外接球内切球球心共点
二、正四面体，正方体，球之间的内在联系
1）、正四面体的六条棱是对应正方体六个面的面对角线。
2）、正四面体的外接球是对应正方体的外接球。
3）、正方体外接球的直径是它的体对角线，正方体内切球的直径是它的棱长， 与正方体各棱相切的球的直径是它的面对角线。
4）、正四面体外接球的直径是它高长的３／４，内切球的直径是它高长
的１／４，与正四面体各棱都相切的球的直径是它对应正方体的棱长。
5）、正四面体的中心，正方体的中心，正四面体外接球球心、内切球球心，正方体外接球球心、内切球球心，六心合一。
三、正四面体的三个球
一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球，那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。
如图所示，正方体 的内接正四面体 ，很显然，正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上，设正四面体的棱长为a，则正方体的棱长为 ，对角线长为 。设外接球半径为R，与棱相切的球的半径为 ，则有 ，从而有 。
下面用体积法求内切球的半径r。
根据
又易得正四面体的高 。
所以 且球心在高的一个四等分点上。
通过以上讨论易知，正四面体的三球球心重合，且在正四面体的高的靠近面的四等分点上（即四高交点）并有 ，三球半径与棱长a的关系为 。
四、运用联系法的举例
例1、（2003全国）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为： （A）、3∏ （B）、4∏ （C）、∏ （D）、6∏
基本解法：设球心为O，连AO交面BCD于H，则H是A的射影，BC的中点为E，设球的半径为R，同时H是正△BCD的中心
∴DE=√2.5 ，
∵ DH=2/3 DE
又AH2=AD2-DH2
∵OA=OD=R， OH=OD-BH
∴（AH-R）2=R2-DH2
可得R= /2
故球的表面积为3∏ ∴选A
联系法巧思妙解：
解相关正四面体问题，将正四面体补成对应的正方体，恰好正方体的面对角线是正四面体的棱，此时正方体的棱长为1。所要求球的半径R= /2
深入：用联系法很容易得出正四体内切球半径r与外接球半径R的关系是：R=3r
例2、有棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），求气球表面积最大值
基本解法：画出几何图，列出等量关系式求得半径，有一定的计算量，在此不具体详解。
联系法巧思妙解：因为是骨架，气球充分膨胀后有部分在正方体外部（6个面都有部分球露在外部），则球的直径为正方体面对角线。，
∴最大球的半径R= / 2 a
故表面积的最大值为2∏a2
深入：如果不是骨架，则直径是正方体的棱长。
如果是正方体的外接球，则直径是正方体的体对角线长。
例3、设E、F、G分别为正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，求二面角C-FG-E的余弦值。
本题直接用基本法解比较烦琐，把正四面体放到相应的正方体很快就能得到结果，大家不妨试一试。
总之：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，由于可以把正四面体补成正方体，而正方体与球的关系又甚为密切，因此在正方体中研究正四面体的有关性质，掌握正四面体与其外接正方体，正四面体与其外接球、内切球之间的关系是快速而正确解答正四面体有关问题的基础。需要强调的是，对于这些诸多性质重在深刻理解其来龙去脉而不是背诵。
